Moduł 21 · Badania: redundancja + planowanie

Redundancja dynamiczna: pasywne, podatne wykonanie

Od kinematyki (rozdz. 11) do momentu napędowego: sterowanie operacyjne (OSC), dynamicznie spójny null-space (J M⁻¹N=0), pasywność (bak energii), podatność w null-space. Warstwa WYKONAWCZA dla planowanej redundancji — most do części badawczej (WP1–WP5).

TL;DR — druga połowa redundancji

Rozdział 11 rozwiązał redundancję kinematycznie — na poziomie prędkości: $\dot q = J^{+}\dot x + (I - J^{+}J)\,\xi$ . To wystarcza do planowania. Ale prawdziwa 7-DOF Panda ma bezwładność, grawitację i kontakt — żeby to wykonać na sprzęcie, trzeba zejść na poziom momentu napędowego.

Ten moduł to warstwa wykonawcza redundancji. Trzy rzeczy, których kinematyka nie daje:

Dynamicznie spójny null-space — projekcja, która gwarantuje, że ruch własny nie zaburza zadania także dynamicznie ( $J M^{-1} N = 0$ ), nie tylko kinematycznie.
Pasywność (bak energii) — pozwala planować dowolną, zmienną w czasie trajektorię postawy i wykonać ją bez wstrzykiwania energii „z niczego".
Podatność (impedancja w null-space) — ramię może ustępować pod kontaktem w przestrzeni zerowej, chroniąc zadanie. Fundament pod planowanie interakcji.

Ten moduł spina platformę planowania z siostrzanym projektem „Franka Redundancy Control" (pełne wyprowadzenia, 5 KPI, dowód Pinocchio≡MuJoCo do 1e-8). Poniższe filmy pochodzą z tamtego, zwalidowanego sterownika i są wykonawcą dla planerów z części badawczej (WP1–WP5).

Dlaczego kinematyczna projekcja to za mało

Projektor z rozdz. 11, $P = I - J^{+}J$ , spełnia $J\,(P\xi) = 0$ — ruch własny nie zmienia prędkości narzędzia. Ale moment przyłożony w tym samym kierunku może rozpędzić zadanie, bo momenty sprzęgają się przez bezwładność $M(q)$ . Potrzebna jest projekcja ważona bezwładnością (Khatib, operational space):

\Lambda = (J M^{-1} J^\top)^{-1}, \quad \bar J = M^{-1} J^\top \Lambda, \quad N = I - J^\top \bar J^\top \;\;\Rightarrow\;\; J\,M^{-1} N = 0

$\Lambda$ to inercja w przestrzeni zadania („masa, jaką czujesz pchając narzędzie"), $\bar J$ to dynamicznie spójna pseudoodwrotność, a $N$ — projektor null-space z kluczową własnością $J M^{-1} N = 0$ : dowolny moment włożony przez $N$ daje zerowe przyspieszenie narzędzia. To jest fizycznie poprawny odpowiednik $I - J^{+}J$ — i powód, dla którego łokieć może krążyć, a chwytak stoi.

Prawo sterowania: sterowanie operacyjne (OSC)

Moment składamy z trzech warstw — zadanie, postawa, grawitacja — potem filtrujemy pod limity (CBF-QP z rozdz. 12):

\tau = \underbrace{J^\top\big[\Lambda(\ddot x_d + K_p e_x + K_d \dot e_x) + \mu\big]}_{\tau_{\text{task}}\ (\text{zadanie 6-DOF})} + \underbrace{N\big(-K_{ns}(q - q_{set}) - D_{ns}\dot q\big)}_{\tau_{\text{null}}\ (\text{postawa 1-DOF})} + \underbrace{g(q)}_{\text{grawitacja}}

Człon zadania to impedancja kartezjańska z pełną kompensacją dynamiki ( $\mu$ kasuje Coriolisa/odśrodkową). Człon $\tau_{\text{null}}$ to sprężyna-tłumik dla postawy, ale przepuszczona przez $N$ , więc niewidoczna dla zadania. To tutaj „wchodzi" wynik planera: $q_{set}(t)$ (planowana postawa) i $K_{ns}$ (planowana sztywność).

Pasywność: bak energii (dlaczego można PLANOWAĆ postawę)

Gdy planer każe postawie się zmieniać (zmienne $q_{set}(t)$ ), morfowanie sprężyny wstrzykuje energię. Naiwnie daje to pik 1641 W „z niczego" — złamanie pasywności, niebezpieczne przy kontakcie. Rozwiązanie: skończony bak energii finansujący morfing z odzyskanego tłumienia:

H_c = \tfrac{1}{2} K_{ns}\lVert q - q_{set}\rVert^2 + T_{\text{tank}}, \qquad P_{\text{gen}} = \dot H_c + \dot q^\top w_{ns} \;\le\; 0

To jest klucz do połączenia z planowaniem: bak sprawia, że dowolną planowaną trajektorię postawy $q_{set}(t)$ można wykonać pasywnie ( $P_{\text{gen}}\le 0$ ), nawet gdy plan zmienia się w locie (MPC, WP3). Bez baku planowana redundancja byłaby niebezpieczna.

Podatność w null-space — jedno pokrętło $K_{ns}$

Sztywność null-space $K_{ns}$ decyduje między sztywnym odrzucaniem a miękkim ustępowaniem: duże $K_{ns}$ = postawa trzymana (zakłócenie pochłonięte bez ruchu); małe $K_{ns}$ = ramię ustępuje pod siłą w przestrzeni zerowej, a tor narzędzia zostaje nietknięty. To jest wielkość, którą planer w WP4 będzie planował (pole kierunkowej impedancji) pod budżet baku.

MuJoCo · pasywny sterownik

Zewnętrzna siła (pomarańczowa strzałka) pcha łokieć W TRAKCIE jazdy chwytaka po okręgu. Przy MIĘKKIM null-space (K_ns≈3.5) łokieć USTĘPUJE w przestrzeni zerowej (~10 cm), a tor chwytaka zostaje nietknięty (błąd ~0). To podatność (compliance) planowana i wykonywana pasywnie.

Most do części badawczej (PPR)

Ten wykonawca daje cztery obiekty, na których stoi cała część badawcza — Planowanie i Pasywne wykonanie w przestrzeni Redundancji:

Styczna rozmaitości ruchu własnego — $\mathrm{null}(J)$ .
Metryka (nie euklidesowa!) — inercja $\Lambda$ / $M(q)$ .
Przeszkody manifoldu — limity (HOCBF), osobliwości (manipulowalność).
Budżet — bak energii, gwarant pasywności planowanego ruchu.

Planery z tej platformy wpinają się na wierzch:

WP1 — sampling (CBiRRT/BIT*) na rozmaitości ruchu własnego (globalne omijanie przeszkód łokciem).
WP2 — CHOMP/GPMP z metryką inercji (optymalizacja postawy w horyzoncie).
WP3 — MPC/MPPI na 1 DOF z budżetem baku (predykcyjna, pasywna redundancja).
WP4 — planowanie podatności przez kontakt (pole $K_{ns}(t)$ ).
WP5 — nauczona polityka null-space „osłonięta" pasywnością (diffusion + shield).

Formalna propozycja (z równaniami, walidacją, harmonogramem) i prototyp WP1 są w toku — patrz kolejne moduły tej ścieżki.

Ściąga

Dyn.-spójny null-space: $N = I - J^\top \bar J^\top$ , $\bar J = M^{-1}J^\top\Lambda$ , $\Lambda=(JM^{-1}J^\top)^{-1}$ — własność $JM^{-1}N=0$ .
OSC: $\tau = \tau_{\text{task}} + \tau_{\text{null}} + g$ , filtr CBF-QP.
Postawa: $\tau_{\text{null}} = N(-K_{ns}(q-q_{set}) - D_{ns}\dot q)$ ; planer daje $q_{set}(t)$ i $K_{ns}$ .
Pasywność: bak energii $\Rightarrow P_{\text{gen}}\le 0$ dla planowanego $q_{set}(t)$ .
Podatność: $K_{ns}$ duże = sztywno (odrzuca), małe = miękko (ustępuje).

Źródła i kod

Khatib, „A unified approach to motion and force control" (1987) — operational space, dyn.-spójny null-space.
Schindlbeck & Haddadin (ICRA 2015), Ferraguti et al. — baki energii / pasywność interakcji.
Siciliano & Slotine — priorytety zadań (poziom kinematyczny, rozdz. 11).
Siostrzany projekt Franka Redundancy Control: controller.py (OSC + null-space + EnergyTank + JointLimitQP), research_log.md, 5 KPI. Filmy powyżej to jego zwalidowany sterownik.